Ну, я тоже поржал. В контексте «насколько я вижу проблему, многие люди просто концептуально не понимают, как что-то может не стремиться, а „быть равным“ бесконечности». Поржал как человек, которому пять лет в универе объясняли, что бесконечность не число, а понятие.
Илья Бирман
Мне это пять лет не объясняли, я это понял существенно быстрее, ещё в школе :-)
Алисей Лебедев
Я не понимаю почему 0,(3) * 3 даёт 0.(9), это какой-то баг в нашем способе умножать на бумаге. Так число 0.(9) по моему и надо рассматривать. Так же как -0, «ну не может же отрицательное число быть равно нулю».
Илья Бирман
Про минус ноль забавно :-)
BOLK
Подколол, ага :)
Илья Бирман
Если серьёзно, то я там не зря взял это в кавычки. Дальше, уже в самой дискуссии, я сам настаиваю на аккуратном использовании понятия бесконечности.
Роман Добровенский
В теории сюрреальных чисел вполне может быть «бесконечность плюс один», то есть бесконечность рассматривается как число. Это говорит лишь о том, что термин «бесконечность» определяется аксиоматикой. Вообще ваши рассужедния о математике столь же наивны, как и рассуждения Задорнова о лингвистике. То же самое с доказательством теоремы Пифагора — красивые доказательства уместны лишь в рамках какой-либо аксиоматики. О какой геометрии идет речь? Пифагора? Лобачевского? Римана? В последних двух случаях из рисунков ничего не следует. Красивые графические доказательства редко бывают строги в математическом смысле.
Я не пытаюсь наехать, меня просто смущает ваша максималистская манера всех уличить в некомпетентности, хотя сами себе вы позволяете зачастую проявлять тотальную безграмотность. Вспомним факториалы — не знать Гамма-функцию и писать при этом о математике должно быть просто стыдно. Вы мне симпатичны как человек, так как в своей области вы являетесь действительно хорошим специалистом (один из важнейших критериев для меня), поэтому я на это указываю, в расчете на то, что вы задумаетесь и сделаете выводы. Иначе вы уподобляетесь Задорнову. Хотя последний, как я уже писал, не возводит свои слова в абсолют, являясь всего лишь юмористом.
Илья Бирман
Вы далеко не первый, кто обвиняет меня в некомпетентности.
Всякий раз, когда когда это происходит, я надеюсь, что обвинитель сможет указать мне на мои ошибки, и тогда я стану компетентнее. В действительности же человек, способный указать на конкретные ошибки, как раз это и делает, вместо того, чтобы подвергать сомнению вообще моё право о чём-либо рассуждать.
Я убеждён, что геометрию Лобачевского и Римана вы упомянули в своём комментарии для понта. Любому вменяемому человеку очевидно, что речь идёт о геометрии Евклида. Люди либо не подозревают о существовании других, либо отдают себе отчёт в том, что евклидова геометрия принимается в неспециальных текстах по умолчанию. Про геометрию Пифагора я вообще никогда не слышал; может, просветите меня?
Если вам есть, что сказать по делу, давайте сразу переходить к этому?
Роман Добровенский
Вы не так поняли мой порыв. Я не ставлю себе задачи уличить вас в конкретных ошибках. Приведенное доказательство Тафти очень красиво, точно, и мне прочитать ваш пост было очень интересно (ранее я этого доказательства не знал). Я говорю о том, что мне во многих случаях не нравится ваша манера. Почему я об этом говорю? Вы умный человек, и поэтому оба ваших блога интересно читать. Но мне хотелось бы, чтобы ваши блоги было читать не только интересно, но еще и приятно. Зачастую обличительная манера изложения в стиле «да я все знаю, а остальные дураки» просто раздражает.
О конкретных математических огрехах, раз уж вы спросили. «Доказательство 0! = 1». Нельзя этого доказать, Илья. «n! = произведение всех чисел от 1-го до n». Это определение. Отсюда следует, что область определения факториала — множество натуральных чисел (считаем для определенности, что ноль — число не натуральное; здесь разные источники говорят по-разному). Почему же все источники говорят, что 0! = 1? Просто это оказывается удобным. Все формулы приобретают гораздо более грациозный вид. Все «доказательства» того, что «0! = 1», на самом деле доказательства не этого факта, а доказетельства того, что такое расширение области определения факториала не противоречит изначальному определению. Я имею такое же право сказать, что 0! = 10. Однако в этом случае будет противоречие с теоремой n! / n = (n — 1)!. Если я хочу расширить область определения правилом 0! = 10, то я обязан указать, что приведеленная мной теорема работает только при n > 1. И я имею на это право (другое дело, что мне это не даст никаких выгод — но с формальной точки зрения все правильно). В данном случае вы просто напутали понятия «область определения», «доказательство», «расширение определения». Так же глупо выглядит и то что вы обратили внимание на Гамма-функцию — то что в некоторых точках факториал с ней совпадает, еще не значит, что она является его однозначным обобщением (можно придумать сколько угодно функций, которые будут совпадать в целых значениях с факториалом). И несмотря на существование Гамма-функции, 0.5! не существует. По определнию.
Пример с факториалом может показаться весьма надуманным. Другая ситуация с делением 0/0. Очень во многих научных статьях изложение начинается со слов «будем считать, что 0/0 = 1» или «0/0 = 0». Это невозможно доказать, так как это не теорема, а лишь расширение операции, которое ничему не противоречит, но зато упрощает выкладки.
Скажем, какие решения имеет уравненение x^2 = -1? Если мы говорим, что решение может быть комплексным, то решений аж два. Если же мы работаем на множестве действительных чисел (скажем, вы пришли к такому уравнению в финансовой задаче), и вы начнете доказывать, что там есть комплексные корни, то будете выглядеть как минимум глупо.
Другой пример: вы говорили, что если вероятность события равна нулю, то это не значит, что оно не может произойти, аналогично для вероятности 1. Опять же по определению, если P(X) = 1, то X называется «достоверным событием», а если P(X) = 0, «невозможным». Математика не изучает реальный мир — она исходит из аксиом и определений. «Достоверное» и «невозможное» — это просто названия. Говорить о том, могут такие события произойти или нет просто некорректно. Это то же самое, что сказать, «можно ли обрезать руку о вогнутую функцию?» Это понятия разных миров — материального и абстрактного математического. Теория вероятностей ни с какими материальными объектами или опытами не работает (вообще понятия «опыт» нет в теории вероятностей).
Вам может показаться, что я докапываюсь по каким-то ненужным формальным признакам и просто раздуваю щеки. Это не так. В данных конкретных примерах, конечно, этого не видно, и возможно такое мое рвение к формализму вызывает соблазн объявить меня недовольным пустозвоном. Это не так. Если слегка выйти из университетского курса математики (который соверешнно никчемен), то окажется, что без понимания этого формализма никуда. Попробуйте поискать в Интернете, например, о вариационном исчислении (формально вводит производную для функционала, то есть отображения функции на п
Илья Бирман
Я не готов обсуждать свою манеру излагать мысли. Я пишу в интернете всякую всячину с 2002 года, мой стиль уже сто раз сложился. Я готов извиниться, если обидел чем-то лично вас.
Вы не правы, когда приписываете мне представление, что я знаю всё, а потом пытаетесь его разрушить. У меня таких мыслей и не было, вам совершенно нечего разрушать. Если я уверенно пишу о сложении целых чисел столбиком, это ещё не значит, что считаю, что досконально знаю тензоры. Когда же я уверенно пишу о чём-то, о чём знаю, я не могу понять, где тут грех.
Покажите пожалуйста, где я пытаюсь «доказать», что 0! = 1. На мой взгляд, это просто очевидно и следует из смысла умножения. Произведение чисел от 1 до 0 — это произведение нуля чисел (в этом диапазоне чисел нет). Произведение нуля чисел обязано быть единицей, иначе произведение вообще бы не работало. Вот и всё. Поскольку это чувствуют не все, а в удобстве такого определение убедиться удаётся не мгновенно, то констатацию того, что 0! = 1 вписывают в определение. На мой взгляд, педагогически было бы полезнее, если бы этого не вписывали в определение, а каждый учитель тратил бы 5 минут на объяснение этого.
Я, в отличие от вас, не знаком с научными работами, начинающихся с положения, что 0/0 = 1. В рамках тех математических теорий, которые я изучал, такое положение сделать невозможно, так как это позволяет доказать, например, что 1 = 2, но утверждение, из которого следует ложное, неизбежно ложно. Опять же, в рамках той логики, которую я изучал.
Комлексные корни у уравнения x2 = −1 есть независимо от того, считаете ли вы глупым моё такое заявление или не считаете. Другое дело, что в финансовой задаче эти корни могут не иметь прикладного значения :-)
В вашем абзаце, посвящённом вероятностям событий, вы приводите удивительные определения. Я уже боюсь быть обвинённым в том, что называю себя Эйнштейном; нет, но всё-таки Теорию вероятностей я в своё время знал лучше всех в потоке, и что-то из неё помню. Не исключаю, что меня учили неправильно; буду благодарен вам за ссылку на источник, который бы мои представления бы перевернул.
Итак. Достоверным называется событие, которое неизбежно произойдёт; невозможным называется событие, которое ни при каких обстоятельствах не произойдёт. Эти понятия не являются синонимами понятий «событие, вероятность которого равна 1» и «событие, вероятность которого равна 0». Приведу пример: я задумал число и предлагаю вам его угадать; вы называете число 1 и случайно угадываете. Это возможное событие, оно даже не выглядит совсем уж запредельно бредовым, однако вероятность его равна нулю, так как как соотношение числа благоприятствующих событию исходов (один) к общему числу возможных исходов (бесконечность; вы могли назвать совершенно любое число) равно нулю. Эйнштейну приписывают слова: «Вероятность того, что я живу именно сейчас, равна нулю, так как время бесконечно. Тем не менее, я жив». Думаю, вам не составит труда придумать событие, вероятность которого была бы равна единице, но которое бы при этом не произошло.
Мой блог не является диссертацией или даже просто научной статьёй. Я не вижу повода усложнять вещи там, где можно объяснить вещи проще или используя более базовый аппарт. Проблема может быть только в случае, если это порождает ошибку в рассуждениях.
Вы давите на то, что мои заметки неприятно читать, так как я берусь «с учёным видом знатока» рассуждать о том, в чём не понимаю; при этом вам никак не удаётся подловить меня на таком непонимании, несмотря на то, что ваш уровень владения математикой предположительно существенно выше.
Я буду рад, если вы поможете мне поднять мой уровень знаний в тех областях, где вы сами сильны; укажете на ошибки там, где я их допустил; дополните мои рассуждения интересными примерами, альтернативными мнениями, когда они вам известны. Вместо того, чтобы упрекать меня в неприятной манере ведения дискуссий, просто возьмите дело в свои руки: вступите в дискуссию и сделайте её приятной.
forajump
А еще люди заморачиваются над вопросом «Когда началась первая четверть V века до нашей эры?». Не то в 500-м году до н.э., не то в 499-м.
Илья Бирман
В 401-м.
Роман Добровенский
Вы меня опять не так поняли. Я согласен, что с методической точки зрения ваши объяснения хороши. Я говорю лишь, что не приятно читать выражения типа «смеялся над тем, какую парень допустил ошибку», «офигеть — люди не понимают арифметики, какие тупые», «такие уроды, что даже нарисовать по-человечески не могут». Причем чаще всего я с этими утверждениями согласен — действительно уроды и придурки. Но выволакивание чужого грязного белья на обозрение просто не прилично. Я отлично понимаю, что мне вас вряд ли «перевоспитать» (слово не очень подходит, но не подобрал лучше), но раз уж в блоге есть комментарии, то я по крайней мере могу поделиться наблюдением. Прислушиваться к нему или нет — дело ваше. Ну в общем я согласен закрыть тему.
К математике. Комплексные числа — не единственное возможное расширение множества действительных чисел. Я уже упоминал сюрреальные числа, есть так же двойные, дуальные чисала, p-адические. Они все столь же правомерны, как и комплексные. Более того, аксиоматически можно ввести сколь угодно много разновидностей чисел, для которых вы не найдете никаких противоречий, и тогда можно корни уравнения x2=-1 описывать бесконечно долго. Утвержление, что «x2=-1» имеет всегда комплексные корни неверно. Оно имеет комплексные корни только тогда, когда в предметной области, в используемой аксиоматике или в условиях задачи ясно оговорено, что используются комплексные числа. Комплексные числа не являются «естесственным» расширением. Они не имеют никакмх преимуществ по стравнению с теми же дуальными числами. Единсвтенное преимущество — с ними удобнее (многие теоремы без комплексных чисел вообще не доказать, однако другие теоремы не удастся доказать без чисел дуальных). Замечу более — ни один реальный физический процесс комплексными числами не описывается. Их даже сравнивать на «больше-меньше» нельзя. Вообще по теме загляните сюда: http://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебраическая_система (но зарываться в эту тему я бы не советовал, во всяком случае на первых порах — это уже только потом, если захотите как следует снасильничать над мозгом).
Ваш пример по теорверу из области «едет автобус — какое колесо не крутится» или «доказать математически что водка — хорошо». Выкладки примерно похожи на математические, но не обладают достаточной строгостью. http://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиомы_Колмогорова — полезно почитать. Вы привели пример несчетного вероятностного пространства. В этом случае событиями должны называться подмножества этой алгебры, замкнутые относительно счетного числа операций пересечения, объединения и дополнения. Это по аксиомам вероятности. Единственный способ сделать это — рассматривать в качестве событий отрезки на множестве вещественных чисел. Если же рассматривать в качестве событий отдельные точки, что система событий перестает быть счетной, и стало быть такая система перестает удовлетворять аксиомам Колмогорова. То есть понятие вероятностной меры становится неопределенным и вероятности P{1} просто не существует. Конечно, это кажется странным. Немного даже похоже на попытку уйти от неопределенности самым простым способом. Но это только первое время. Если не прибегнуть к такой строгой ограничивающей аксиоматике, то можно напороться и на более серьезные углы (посмотрите, например, здесь: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node7.html — если случайная величина распределена на множестве Витали, то вы вообще не сможете ничего сказать о ее вероятности, так как множество Витали неизмеримо).
На самом деле весь этот формализм студенту ни к чему, хотя именно множество Витали весьма занятно. Интерес к такому формализму приходит лишь после, с обширной базой в разных областях, и в общем-то в конкретно ваших примерах на отсутствие строгих выкладок можно махнуть рукой. Я не пытался вас подловить на незнании, я вообще изначально хотел сказать другое (ту тему мы порешили закрыть). Эти конкретные два примера вполне хороши в вашем изложении до некоторого уровня. За эти примеры я зацепился исключительно с целью показать, что не только «тупые ничего не понимают», но и вы не все знаете. Продолжеть не буду,
Я не пытаюсь наехать, меня просто смущает ваша максималистская манера всех уличить в некомпетентности, хотя сами себе вы позволяете зачастую проявлять тотальную безграмотность. Вспомним факториалы — не знать Гамма-функцию и писать при этом о математике должно быть просто стыдно. Вы мне симпатичны как человек, так как в своей области вы являетесь действительно хорошим специалистом (один из важнейших критериев для меня), поэтому я на это указываю, в расчете на то, что вы задумаетесь и сделаете выводы. Иначе вы уподобляетесь Задорнову. Хотя последний, как я уже писал, не возводит свои слова в абсолют, являясь всего лишь юмористом.
Всякий раз, когда когда это происходит, я надеюсь, что обвинитель сможет указать мне на мои ошибки, и тогда я стану компетентнее. В действительности же человек, способный указать на конкретные ошибки, как раз это и делает, вместо того, чтобы подвергать сомнению вообще моё право о чём-либо рассуждать.
Я убеждён, что геометрию Лобачевского и Римана вы упомянули в своём комментарии для понта. Любому вменяемому человеку очевидно, что речь идёт о геометрии Евклида. Люди либо не подозревают о существовании других, либо отдают себе отчёт в том, что евклидова геометрия принимается в неспециальных текстах по умолчанию. Про геометрию Пифагора я вообще никогда не слышал; может, просветите меня?
Если вам есть, что сказать по делу, давайте сразу переходить к этому?
О конкретных математических огрехах, раз уж вы спросили. «Доказательство 0! = 1». Нельзя этого доказать, Илья. «n! = произведение всех чисел от 1-го до n». Это определение. Отсюда следует, что область определения факториала — множество натуральных чисел (считаем для определенности, что ноль — число не натуральное; здесь разные источники говорят по-разному). Почему же все источники говорят, что 0! = 1? Просто это оказывается удобным. Все формулы приобретают гораздо более грациозный вид. Все «доказательства» того, что «0! = 1», на самом деле доказательства не этого факта, а доказетельства того, что такое расширение области определения факториала не противоречит изначальному определению. Я имею такое же право сказать, что 0! = 10. Однако в этом случае будет противоречие с теоремой n! / n = (n — 1)!. Если я хочу расширить область определения правилом 0! = 10, то я обязан указать, что приведеленная мной теорема работает только при n > 1. И я имею на это право (другое дело, что мне это не даст никаких выгод — но с формальной точки зрения все правильно). В данном случае вы просто напутали понятия «область определения», «доказательство», «расширение определения». Так же глупо выглядит и то что вы обратили внимание на Гамма-функцию — то что в некоторых точках факториал с ней совпадает, еще не значит, что она является его однозначным обобщением (можно придумать сколько угодно функций, которые будут совпадать в целых значениях с факториалом). И несмотря на существование Гамма-функции, 0.5! не существует. По определнию.
Пример с факториалом может показаться весьма надуманным. Другая ситуация с делением 0/0. Очень во многих научных статьях изложение начинается со слов «будем считать, что 0/0 = 1» или «0/0 = 0». Это невозможно доказать, так как это не теорема, а лишь расширение операции, которое ничему не противоречит, но зато упрощает выкладки.
Скажем, какие решения имеет уравненение x^2 = -1? Если мы говорим, что решение может быть комплексным, то решений аж два. Если же мы работаем на множестве действительных чисел (скажем, вы пришли к такому уравнению в финансовой задаче), и вы начнете доказывать, что там есть комплексные корни, то будете выглядеть как минимум глупо.
Другой пример: вы говорили, что если вероятность события равна нулю, то это не значит, что оно не может произойти, аналогично для вероятности 1. Опять же по определению, если P(X) = 1, то X называется «достоверным событием», а если P(X) = 0, «невозможным». Математика не изучает реальный мир — она исходит из аксиом и определений. «Достоверное» и «невозможное» — это просто названия. Говорить о том, могут такие события произойти или нет просто некорректно. Это то же самое, что сказать, «можно ли обрезать руку о вогнутую функцию?» Это понятия разных миров — материального и абстрактного математического. Теория вероятностей ни с какими материальными объектами или опытами не работает (вообще понятия «опыт» нет в теории вероятностей).
Вам может показаться, что я докапываюсь по каким-то ненужным формальным признакам и просто раздуваю щеки. Это не так. В данных конкретных примерах, конечно, этого не видно, и возможно такое мое рвение к формализму вызывает соблазн объявить меня недовольным пустозвоном. Это не так. Если слегка выйти из университетского курса математики (который соверешнно никчемен), то окажется, что без понимания этого формализма никуда. Попробуйте поискать в Интернете, например, о вариационном исчислении (формально вводит производную для функционала, то есть отображения функции на п
Вы не правы, когда приписываете мне представление, что я знаю всё, а потом пытаетесь его разрушить. У меня таких мыслей и не было, вам совершенно нечего разрушать. Если я уверенно пишу о сложении целых чисел столбиком, это ещё не значит, что считаю, что досконально знаю тензоры. Когда же я уверенно пишу о чём-то, о чём знаю, я не могу понять, где тут грех.
Покажите пожалуйста, где я пытаюсь «доказать», что 0! = 1. На мой взгляд, это просто очевидно и следует из смысла умножения. Произведение чисел от 1 до 0 — это произведение нуля чисел (в этом диапазоне чисел нет). Произведение нуля чисел обязано быть единицей, иначе произведение вообще бы не работало. Вот и всё. Поскольку это чувствуют не все, а в удобстве такого определение убедиться удаётся не мгновенно, то констатацию того, что 0! = 1 вписывают в определение. На мой взгляд, педагогически было бы полезнее, если бы этого не вписывали в определение, а каждый учитель тратил бы 5 минут на объяснение этого.
Я, в отличие от вас, не знаком с научными работами, начинающихся с положения, что 0/0 = 1. В рамках тех математических теорий, которые я изучал, такое положение сделать невозможно, так как это позволяет доказать, например, что 1 = 2, но утверждение, из которого следует ложное, неизбежно ложно. Опять же, в рамках той логики, которую я изучал.
Комлексные корни у уравнения x2 = −1 есть независимо от того, считаете ли вы глупым моё такое заявление или не считаете. Другое дело, что в финансовой задаче эти корни могут не иметь прикладного значения :-)
В вашем абзаце, посвящённом вероятностям событий, вы приводите удивительные определения. Я уже боюсь быть обвинённым в том, что называю себя Эйнштейном; нет, но всё-таки Теорию вероятностей я в своё время знал лучше всех в потоке, и что-то из неё помню. Не исключаю, что меня учили неправильно; буду благодарен вам за ссылку на источник, который бы мои представления бы перевернул.
Итак. Достоверным называется событие, которое неизбежно произойдёт; невозможным называется событие, которое ни при каких обстоятельствах не произойдёт. Эти понятия не являются синонимами понятий «событие, вероятность которого равна 1» и «событие, вероятность которого равна 0». Приведу пример: я задумал число и предлагаю вам его угадать; вы называете число 1 и случайно угадываете. Это возможное событие, оно даже не выглядит совсем уж запредельно бредовым, однако вероятность его равна нулю, так как как соотношение числа благоприятствующих событию исходов (один) к общему числу возможных исходов (бесконечность; вы могли назвать совершенно любое число) равно нулю. Эйнштейну приписывают слова: «Вероятность того, что я живу именно сейчас, равна нулю, так как время бесконечно. Тем не менее, я жив». Думаю, вам не составит труда придумать событие, вероятность которого была бы равна единице, но которое бы при этом не произошло.
Мой блог не является диссертацией или даже просто научной статьёй. Я не вижу повода усложнять вещи там, где можно объяснить вещи проще или используя более базовый аппарт. Проблема может быть только в случае, если это порождает ошибку в рассуждениях.
Вы давите на то, что мои заметки неприятно читать, так как я берусь «с учёным видом знатока» рассуждать о том, в чём не понимаю; при этом вам никак не удаётся подловить меня на таком непонимании, несмотря на то, что ваш уровень владения математикой предположительно существенно выше.
Я буду рад, если вы поможете мне поднять мой уровень знаний в тех областях, где вы сами сильны; укажете на ошибки там, где я их допустил; дополните мои рассуждения интересными примерами, альтернативными мнениями, когда они вам известны. Вместо того, чтобы упрекать меня в неприятной манере ведения дискуссий, просто возьмите дело в свои руки: вступите в дискуссию и сделайте её приятной.
К математике. Комплексные числа — не единственное возможное расширение множества действительных чисел. Я уже упоминал сюрреальные числа, есть так же двойные, дуальные чисала, p-адические. Они все столь же правомерны, как и комплексные. Более того, аксиоматически можно ввести сколь угодно много разновидностей чисел, для которых вы не найдете никаких противоречий, и тогда можно корни уравнения x2=-1 описывать бесконечно долго. Утвержление, что «x2=-1» имеет всегда комплексные корни неверно. Оно имеет комплексные корни только тогда, когда в предметной области, в используемой аксиоматике или в условиях задачи ясно оговорено, что используются комплексные числа. Комплексные числа не являются «естесственным» расширением. Они не имеют никакмх преимуществ по стравнению с теми же дуальными числами. Единсвтенное преимущество — с ними удобнее (многие теоремы без комплексных чисел вообще не доказать, однако другие теоремы не удастся доказать без чисел дуальных). Замечу более — ни один реальный физический процесс комплексными числами не описывается. Их даже сравнивать на «больше-меньше» нельзя. Вообще по теме загляните сюда: http://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебраическая_система (но зарываться в эту тему я бы не советовал, во всяком случае на первых порах — это уже только потом, если захотите как следует снасильничать над мозгом).
Ваш пример по теорверу из области «едет автобус — какое колесо не крутится» или «доказать математически что водка — хорошо». Выкладки примерно похожи на математические, но не обладают достаточной строгостью. http://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиомы_Колмогорова — полезно почитать. Вы привели пример несчетного вероятностного пространства. В этом случае событиями должны называться подмножества этой алгебры, замкнутые относительно счетного числа операций пересечения, объединения и дополнения. Это по аксиомам вероятности. Единственный способ сделать это — рассматривать в качестве событий отрезки на множестве вещественных чисел. Если же рассматривать в качестве событий отдельные точки, что система событий перестает быть счетной, и стало быть такая система перестает удовлетворять аксиомам Колмогорова. То есть понятие вероятностной меры становится неопределенным и вероятности P{1} просто не существует. Конечно, это кажется странным. Немного даже похоже на попытку уйти от неопределенности самым простым способом. Но это только первое время. Если не прибегнуть к такой строгой ограничивающей аксиоматике, то можно напороться и на более серьезные углы (посмотрите, например, здесь: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node7.html — если случайная величина распределена на множестве Витали, то вы вообще не сможете ничего сказать о ее вероятности, так как множество Витали неизмеримо).
На самом деле весь этот формализм студенту ни к чему, хотя именно множество Витали весьма занятно. Интерес к такому формализму приходит лишь после, с обширной базой в разных областях, и в общем-то в конкретно ваших примерах на отсутствие строгих выкладок можно махнуть рукой. Я не пытался вас подловить на незнании, я вообще изначально хотел сказать другое (ту тему мы порешили закрыть). Эти конкретные два примера вполне хороши в вашем изложении до некоторого уровня. За эти примеры я зацепился исключительно с целью показать, что не только «тупые ничего не понимают», но и вы не все знаете. Продолжеть не буду,